命題２４

　もし、２つの数が任意の数に対し互いに素であるならば、そのとき、それらの積もまた同じ数に対し互いに素である。

　２つの数AとＢを任意の数Cに対し素であるとし、AはBをかけられてDを作るとせよ。

　CとDは互いに素であると主張する。

　もし、CとDが互いに素でなければ、そのとき、ある数EはCとDを割り切る。

　今、CとAは互いに素であり、ある数EはCを割り切るので、それゆえに、AとEは互いに素である。proposition�Z．２３

　EがDを割り切ったものと同じだけFの中に単位があるとせよ。

　そのとき、FもDを割り切ってその商はEの中の単位である。proposition�Z．１６

　それゆえに、EはFをかけられてDを作る。

　また、AはBをかけられてDを作る。

　それゆえに、EとFの積は、AとBの積と等しい。definition�Z．１５

　しかし、外項の積が内項の積と等しければ、そのとき、４つの数は比例である。

　それゆえに、EはAに対して、BはFに対する。proposition�Z．１９

　しかし、AとEは互いに素で、互いに素である数は同じ比をもつ数の中で最小で、同じ比をもつ数のうち最小の数は同じ比をもつ数を割り切り、大きいほうは大きいほうを、小さいほうは小さいほうを、つまり、前項は前項を、後項は後項を割り切るので、それゆえに、EはBを割り切る。proposition�Z．２１、proposition�Z．２０

　しかし、EはCも割り切る。

　それゆえに、Eは互いに素であるBとCを割り切り、これは不可能である。definition�Z．１２

　それゆえに、CとDを割り切る数はない。

　それゆえに、CとDは互いに素である。

　それゆえに、もし、２つの数が任意の数に対し互いに素であるならば、そのとき、それらの積もまた同じ数に対し互いに素である。

証明終了

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